該項目涵蓋了兩種引人入勝且有用的電路設計技術——伯頓變換和對偶——使我們能夠在構建音頻噪聲濾波器的同時，將無源網(wǎng)絡轉(zhuǎn)換為有源網(wǎng)絡。

之前，我介紹了一種“468-4”音頻濾波器的設計，它實現(xiàn)了標準化的噪聲測量，近似于對人們聽音樂和說話的主觀評估。

如該文章所述，有兩種主要方法可以制作有源濾波器，該濾波器提供468-4頻率響應并與現(xiàn)代音頻設備的阻抗水平相匹配：

將6.3kHz左右的傳統(tǒng)低通和高通有源濾波器合并。

使用巧妙的數(shù)學技術從無源電路推導出有源電路。

我之前介紹了第一種方法，現(xiàn)在本文將介紹第二種方法。

468-4無源濾波器的獨創(chuàng)設計

作為一個快速復習，圖1的網(wǎng)絡是在20世紀50年代開發(fā)的，旨在提供所需的頻率響應，用于阻抗為600?的音頻系統(tǒng)。

用于600Ω電路的468-4濾波器的無源網(wǎng)絡實現(xiàn)

圖1。用于600Ω電路的468-4濾波器的無源網(wǎng)絡實現(xiàn)（點擊放大）。

源和負載電阻器分別顯示在左側(cè)和右側(cè)，但沒有信號源。這種電路需要在輸出端有一個放大器來補償其顯著的插入損耗。

電感器電阻的影響

規(guī)范的頻率響應可能是通過測量受電感器損耗影響的原始網(wǎng)絡來確定的。

該規(guī)范要求電感器Q因子在10kHz時超過200，但這不是一個足夠的規(guī)范，原因有兩個：

電感器具有串聯(lián)電阻和（如果不是空心的）并聯(lián)損耗電阻，但我們不知道每個電阻的大小。

并聯(lián)損耗與頻率有關，因此無法通過固定電阻器完全建模。

對電感器的研究表明，在最低允許電感器Q為200的情況下，串聯(lián)和并聯(lián)電阻之間的損耗分布對頻率響應的影響非常小，即使在臨界的6kHz至14kHz范圍內(nèi)也是如此。對于沒有電阻損耗的理想電感器也是如此。為了使并聯(lián)電容產(chǎn)生任何影響，它們必須在納法拉范圍內(nèi)，當然，它們不是。

電容器變化的影響

說明書還指出，33.06nF電容器的值可能需要調(diào)整，以滿足頻率響應的規(guī)定公差極限。我已經(jīng)使用LTspice模擬研究了這些影響。將33.06 nF電容器改變±5%的影響可以忽略不計（微珠?。?/p>

模擬組件變化的影響

在模擬中，我們可以在±5%的公差范圍內(nèi)改變組件。所有網(wǎng)絡變體的頻率響應如圖2所示，規(guī)格限制以黃色突出顯示。

改變分量值對無源網(wǎng)絡468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒有影響

圖2:改變分量值對無源網(wǎng)絡468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒有影響（點擊放大）。

如圖2所示，頻率響應作為部件公差的函數(shù)變化不大，所有變體都符合規(guī)范。

小心插值

然而，您可能會注意到圖2的頻率響應曲線中以11 kHz為中心的奇怪駝峰。在上一篇文章的模擬和測量中也可以看到這種隆起。這看起來像是一個數(shù)據(jù)錯誤，但數(shù)據(jù)是正確的。

原因是我在模擬中復制了頻率響應規(guī)范中從10 kHz到12.5 kHz的大步。頻率步長模擬中的這一大的8.1dB步長迫使模擬繪圖工具對數(shù)據(jù)進行插值以繪制曲線。

10kHz和12.5kHz之間的線性插值在11kHz下給出4.63dB的響應，而所有模擬網(wǎng)絡的響應都非常接近5.30dB。如果我們在模擬中添加額外的頻率步長，那么11 kHz的光點幾乎消失了，如圖3所示。

增加額外的頻率步長可以減少插值并消除響應曲線中的駝峰

圖3。添加額外的頻率步長可以減少插值，并消除響應曲線中的駝峰（單擊放大）。

剩余的波峰和波谷是由于頻率響應規(guī)范中的舍入效應造成的。因此，最好將構建和測量的濾波器的結(jié)果與模擬無源網(wǎng)絡的頻率響應進行比較，這兩種濾波器都具有非常小的舍入誤差。

將被動網(wǎng)絡轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃泳W(wǎng)絡

眾所周知，您可以通過將所有組件阻抗除以固定比例因子來“縮放”任何RLC網(wǎng)絡。只要源阻抗和負載阻抗包括在計算中，頻率響應就不會改變。

1968年，倫納德·布魯頓證明，如果比例因子是虛的（包括j，負1的平方根），布魯頓變換過程仍然有效。如果我們包括角頻率ω，它的工作效果特別好：

等式1。

解釋

f是以赫茲為單位的頻率。

用虛角頻率縮放電感器

我們將把所有的分量除以比例因子jω。讓我們從檢查阻抗為jωL的電感器的變化開始。

等式2。

不要被L這個詞的使用所欺騙。這個阻抗與頻率無關，這意味著它是一個電阻值為L的電阻器。在我們的電路中用電阻器代替電感器將節(jié)省成本！

用虛角頻率縮放電阻器

現(xiàn)在，讓我們看看當我們將電阻器除以比例因子jω時會發(fā)生什么。

等式3。

這將使我們的電阻器變?yōu)殡娙葜禐椋?/R）的電容器。您可以將這個值識別為我們原始電阻器的電導G。

用虛角頻率縮放電容器

最后，讓我們把電容器的阻抗除以比例因子jω。

等式4。

這個結(jié)果看起來不太有希望。這是一個數(shù)學上真實的阻抗（沒有“j”），電壓與電流同相，就像電阻器一樣，但它是負的，并且與頻率有關。

它可以被稱為頻率相關負電阻器（FDNR）或“D元件”這是一個向普通電阻器提供能量的有源元件，因此需要電源。幸運的是，它可以由運算放大器、電阻器和電容器構成。

使用對偶變換電路原理圖

如果我們回到圖1，我們可以看到C3的兩端都沒有接地。當它被轉(zhuǎn)換為D元件時，這將產(chǎn)生一個真正的問題，因為這需要一個浮動電源。在我們進行伯頓變換之前，我們可以用另一個數(shù)學技巧和電路的對偶性質(zhì)來克服C3問題。

在這個“雙重化”的過程中，我們可以通過進行以下更改來轉(zhuǎn)換示意圖。

電壓源? 電流源

電感? 電容

反對? 電導

系列? 平行的

電感和電容改變了它們的性質(zhì)——它們儲存能量的方式以及它們的阻抗如何隨頻率變化。電阻和電導不會改變它們的性質(zhì)，所以我們可以將它們視為任何一種形式，而不會引入誤差。

組件的數(shù)值不會改變，盡管結(jié)果可能包括不可行的值（但稍后可以固定）。所得到的示意圖將具有相同的頻率響應。

如果我們將對偶過程應用于圖1的468-4濾波器電路，我們必須包括源和負載電阻器。這些電阻器的電導率從600Ω轉(zhuǎn)換為600 S（西門子），相當于1.667 m?的電阻器。

在468-4濾波器電路上完成我們的雙重轉(zhuǎn)換，得到了圖4底部所示的新示意圖。我已經(jīng)復制了圖4頂部的原始電路，所以您可以更容易地看到對偶變換。

原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無源網(wǎng)絡版本（底部）

圖4。原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無源網(wǎng)絡版本（底部）（點擊放大）。

很明顯，以納米亨、毫歐姆和毫法拉為單位的元件值，這是一個非常低阻抗的網(wǎng)絡。不用擔心，我們可以解決這個問題！

使用Bruton變換縮放分量值

現(xiàn)在，我們來談談另一個聰明的地方：使用Bruton變換轉(zhuǎn)換組件值。我們可以引入一個新的因子來將所有組件值縮放到更方便的值。

我們將首先將1.667 mS的源和負載電導轉(zhuǎn)換為1 nF的合理電容器大小。如前所述，Bruton變換使用以下方程將電阻器轉(zhuǎn)換為電容器：

等式5。

現(xiàn)在，讓我們計算一下比例因子：

比例因子

等式6。

不要擔心這是一個非常高的數(shù)字；這只是一個比例因子。

將電阻器值除以比例因子，得到電容器值（等效地，將電導值乘以比例因子）。

將電容器值除以比例因子，得到D值。

多個電感值通過比例因子得到電阻值。

圖5是我們在所有電路元件上完成Bruton變換后的電路。

D元素沒有一個標準的單位名稱，但我們只會稱之為bruton，并給它一個符號Br。我們得到的D值是以femtobutons為單位的，但沒關系。我們可以使用可感測的元件值由運算放大器、電阻器和電容器制成。請注意，它們的阻抗只是負電阻器，具有以歐姆為單位的頻率相關值。

用于負電阻的廣義阻抗轉(zhuǎn)換器

我們將使用通用阻抗轉(zhuǎn)換器（GIC）創(chuàng)建我們的D元件。對它們?nèi)绾喂ぷ鞯慕忉屜喈旈L，而且是數(shù)學性的（簡單的數(shù)學，但很多）。

GIC示意圖如圖6所示。

通用阻抗轉(zhuǎn)換器原理圖。

圖6。通用阻抗轉(zhuǎn)換器原理圖。

GIC端子之間的阻抗Z由以下公式給出：

等式7。

我們需要一個串聯(lián)鏈中有兩個電容器和三個電阻器的GIC，如圖7所示。

帶有元件值的最終D元件示意圖

圖7。帶有元件值的最終D元件示意圖（單擊放大）。

我們再次為電容器C1和C2選擇了1nF的方便值。同樣，R1和R2在10kΩ（另一個方便的值）下選擇。

必須計算R3值，以便在圖6的示意圖中給出兩個D元素的正確值，使用：

等式8。

等式9。

我們得到的R3值與R1和R2具有相同的數(shù)量級。

用LTspice模擬我們的濾波器設計

我們現(xiàn)在可以使用LTspice來模擬我們的過濾器，以檢查它是否按預期工作。圖8顯示了LTspice示意圖，其中還包括無源濾波器作為參考。

468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖

圖8。468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖（點擊放大）。

示意圖顯示了電阻器的精確值，可以由E12±1%公差電阻器的串聯(lián)或并聯(lián)組合制成。我使用TL07x運算放大器進行此模擬。

這種類型的濾波器實現(xiàn)被聲稱比使用傳統(tǒng)濾波器部分的實現(xiàn)更能容忍組件值。然而，這是一個過于復雜的問題，不能在這里討論。

圖9顯示了模擬的結(jié)果。

模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考值和規(guī)定公差的偏差

圖9。模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考和指定公差的偏差（點擊放大）。

顯然，高達10kHz的結(jié)果非常好，并且在高達31.5kHz的較低容差內(nèi)保持，但它確實下降了。這是由于運算放大器的帶寬有限。使用更快的運算放大器（如NE5532）可以獲得更好的結(jié)果，但這些運算放大器需要更多的供電電流。

關于電路穩(wěn)定性的警告

最終，我決定使用LM4562運算放大器進行硬件設計（如下所示）。當使用速度快得多的運算放大器時，由于復雜的閉環(huán)配置，存在其中一個GIC變得不穩(wěn)定的真正風險。

當使用任何Spice或類似的模擬工具時，強烈建議除了運行頻域掃描（Spice中的.AC）外，還運行時域模擬（在Spice中稱為.TRAN）。這個交流頻率模擬無法檢測到振蕩。內(nèi)部振蕩的一個很好的指標是。TRAN模擬運行非常緩慢。

最終測試：構建468-4音頻噪聲濾波器

關鍵的測試是在現(xiàn)實世界中構建過濾器并測量其性能。圖10顯示了硬件原理圖，它是我之前的寬帶電壓計項目的附加組件。

使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器示意圖

圖10。使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器的示意圖（單擊放大）。

此設計包括與先前音頻噪聲濾波器設計中所展示的相同的增益調(diào)整電路。然而，該濾波器的增益變化范圍預計較小。

圖11顯示了真實電路的頻率響應與無源電路的模擬響應的比較。偏差只能檢測到，而且只是分貝的一小部分。成功

模擬的無源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應

圖11。模擬的無源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應（點擊放大）。